Matematyka · Liceum — klasa 2

1. Wyraz ze wzoru ogólnego

Dany jest ciąg a_n=3n-2. Oblicz a_10.

2. Pierwsze wyrazy ciągu

Dany jest ciąg a_n=n²-n dla n≥1. Podaj cztery pierwsze wyrazy.

3. Ciąg rekurencyjny

Dany jest ciąg a_1=2, a_(n+1)=a_n+3. Podaj pięć pierwszych wyrazów.

4. Monotoniczność ciągu

Zbadaj monotoniczność a_n=5-2n.

5. Rozpoznawanie ciągu arytmetycznego

Sprawdź, czy 4, 7, 10, 13, ... jest ciągiem arytmetycznym.

6. Ciąg niearytmetyczny

Sprawdź, czy 1, 2, 4, 7, ... jest ciągiem arytmetycznym.

7. N-ty wyraz ciągu arytmetycznego

W ciągu arytmetycznym a_1=5, r=-2. Oblicz a_12.

8. Wyznaczanie a1 i r

W ciągu arytmetycznym a_3=11 i a_8=31. Wyznacz a_1 i r.

9. Suma ciągu arytmetycznego

Dany jest ciąg arytmetyczny a_1=4, r=3. Oblicz S_20.

10. Wyznaczanie numeru wyrazu

W ciągu arytmetycznym a_1=7, r=5. Który wyraz ma wartość 52?

11. Rozpoznawanie ciągu geometrycznego

Sprawdź, czy 3, 6, 12, 24, ... jest ciągiem geometrycznym.

12. N-ty wyraz ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym a_1=81, q=1/3. Oblicz a_5.

13. Wyznaczanie a1 i q

W ciągu geometrycznym a_2=6 i a_5=162. Wyznacz rzeczywiste q i a_1.

14. Suma ciągu geometrycznego

Dany jest ciąg geometryczny a_1=5, q=2. Oblicz S_8.

15. Suma przy q=1

Dany jest ciąg geometryczny a_1=7, q=1. Oblicz S_12.

16. Model arytmetyczny w praktyce

W pierwszym rzędzie jest 18 miejsc, a w każdym kolejnym o 2 więcej. Ile miejsc jest w 15. rzędzie i ile łącznie w pierwszych 15 rzędach?

17. Model geometryczny wzrostu

Początkowo jest 200 jednostek. Po każdym pełnym okresie liczba jednostek jest trzykrotnie większa. Ile jest po 4 okresach?

18. Procent składany jako ciąg geometryczny

Kapitał 4000 zł rośnie o 4% rocznie przy kapitalizacji rocznej, bez podatków i opłat. Oblicz wartość po 3 latach.

19. Inny typ ciągu

Sprawdź, czy ciąg 1, 4, 9, 16, ... jest arytmetyczny lub geometryczny.

20. Parametr z sumy ciągu

W ciągu arytmetycznym a_1=5 i S_20=860. Wyznacz r.

1. Sinus kąta szczególnego

Podaj dokładną wartość sin30°.

2. Cosinus kąta szczególnego

Podaj dokładną wartość cos60°.

3. Tangens kąta szczególnego

Podaj tg45°.

4. Znaki funkcji dla kąta rozwartego

Dla 90°<α<180° określ znaki sinα, cosα i tgα.

5. Pozostałe funkcje z sinusa

Kąt α jest ostry i sinα=3/5. Wyznacz cosα i tgα.

6. Tożsamość dla kąta rozwartego

Dla 90°<α<180° mamy sinα=5/13. Wyznacz cosα i tgα.

7. Funkcje w trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym boki mają 6, 8, 10. Dla kąta naprzeciw boku 6 wyznacz sin, cos i tg.

8. Trójkąt 5–12–13

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma 13, a bok naprzeciw α ma 5. Oblicz cosα i tgα.

9. Boki z tangensa

W trójkącie prostokątnym tgα=3/4, a przyprostokątna przyległa do α ma 12 cm. Oblicz drugą przyprostokątną i przeciwprostokątną.

10. Kąt szczególny z sinusa

Kąt α jest ostry i sinα=1/2. Wyznacz α.

11. Pole z sinusem

Boki 8 i 7 tworzą kąt 30°. Oblicz pole trójkąta.

12. Trzeci bok z twierdzenia cosinusów

Boki 5 i 7 tworzą kąt 60°. Oblicz trzeci bok c.

13. Kąt z trzech boków

Trójkąt ma boki 5, 6 i 7. Oblicz cosinus kąta α leżącego naprzeciw boku 5.

14. Sinus z obliczonego cosinusa

Dla kąta ostrego α wiadomo, że cosα=5/7. Oblicz sinα.

15. Bok z twierdzenia sinusów

W trójkącie a=8, α=30°, β=45°. Oblicz bok b.

16. Wysokość z sinusa

Drabina długości 10 m tworzy z poziomem kąt 60°. Oblicz wysokość, na której dotyka pionowej ściany.

17. Kąt wzniesienia

Cień pionowej wieży ma długość 20 m. Kąt wzniesienia Słońca wynosi 45°. Oblicz wysokość wieży, pomijając nierówność terenu.

18. Pole i trzeci bok

Boki 8 i 10 tworzą kąt 60°. Oblicz pole oraz trzeci bok c.

19. Sinus z cosinusa w trójkącie

Kąt α jest ostry i cosα=12/13. Oblicz sinα i tgα.

20. Dziedzina tangensa

Wyjaśnij, dlaczego tg90° nie istnieje.

1. Odległość punktów

Oblicz odległość punktów A=(1,2), B=(4,6).

2. Środek odcinka

Wyznacz środek odcinka A=(-2,5), B=(6,-1).

3. Współczynnik kierunkowy

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej przez A=(-1,2), B=(3,10).

4. Prosta z punktu i nachylenia

Wyznacz równanie prostej o współczynniku kierunkowym 3 przechodzącej przez (2,-1).

5. Prosta przez dwa punkty

Wyznacz równanie prostej przez (1,2) i (3,6).

6. Postać ogólna prostej

Prosta ma współczynnik -1/2 i przechodzi przez (2,-1). Zapisz ją w postaci ogólnej.

7. Prosta pionowa

Zapisz równanie prostej pionowej przechodzącej przez punkt (-4,7).

8. Prosta równoległa

Wyznacz prostą równoległą do y=2x-5 przechodzącą przez (3,4).

9. Rozpoznanie prostych równoległych

Określ wzajemne położenie prostych y=3x+1 oraz 6x-2y+4=0.

10. Punkt przecięcia prostych

Znajdź punkt przecięcia y=2x+1 i y=-x+7.

11. Proste pokrywające się

Określ wzajemne położenie prostych 2x-y+3=0 i 4x-2y+6=0.

12. Równanie okręgu

Zapisz równanie okręgu o środku (2,-3) i promieniu 5.

13. Środek i promień z równania

Dany jest okrąg x²+y²-6x+4y-12=0. Wyznacz środek i promień.

14. Sprawdzenie punktu na okręgu

Sprawdź, czy P=(4,-1) leży na okręgu (x-1)²+(y+2)²=10.

15. Symetria względem OX

Wyznacz obraz punktu (3,-5) w symetrii względem osi OX.

16. Symetria względem OY

Wyznacz obraz punktu (3,-5) w symetrii względem osi OY.

17. Symetria względem początku

Wyznacz obraz punktu (3,-5) w symetrii środkowej względem początku.

18. Bridge rozszerzony — prosta prostopadła

Zakres rozszerzony: wyznacz prostą prostopadłą do y=1/2x+3 przechodzącą przez (2,1).

19. Bridge rozszerzony — prosta i okrąg

Zakres rozszerzony: znajdź punkty wspólne y=0 i x²+y²=25.

20. Odcinki odcięte przez prostą

Dla prostej 3x+2y-12=0 wyznacz punkty przecięcia z osiami OX i OY.

1. Klasyfikacja trójkąta 5–12–13

Określ rodzaj trójkąta o bokach 5, 12 i 13.

2. Trójkąt rozwartokątny

Określ rodzaj trójkąta o bokach 4, 5 i 7.

3. Długość cięciwy

W okręgu o promieniu 10 odległość środka od cięciwy wynosi 6. Oblicz długość cięciwy.

4. Długość odcinka stycznego

Punkt P leży 13 jednostek od środka O okręgu o promieniu 5. PT jest styczną w punkcie T. Oblicz PT.

5. Przekątna prostokąta

Prostokąt ma boki 6 i 8. Oblicz długość przekątnej.

6. Pole rombu

Przekątne rombu mają długości 10 i 24. Oblicz pole.

7. Obwód sześciokąta foremnego

Sześciokąt foremny ma bok 4. Oblicz obwód.

8. Kąt wpisany

Kąt środkowy oparty na łuku AB ma 80°. Oblicz kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

9. Kąt środkowy

Kąt wpisany oparty na łuku ma 35°. Oblicz odpowiadający kąt środkowy.

10. Długość łuku

Okrąg ma promień 6. Oblicz długość łuku odpowiadającego kątowi środkowemu 120°.

11. Pole wycinka

Koło ma promień 9. Oblicz pole wycinka o kącie środkowym 40°.

12. Twierdzenie Talesa

W trójkącie ABC punkty D∈AB, E∈AC i DE∥BC. AD=4, DB=2, AE=6. Oblicz EC.

13. Bok w figurach podobnych

Skala większego trójkąta do mniejszego wynosi 3/2. Odpowiadający bok mniejszego ma 8. Oblicz bok większego.

14. Pole w figurach podobnych

Skala większej figury do mniejszej wynosi 3. Pole mniejszej to 5. Oblicz pole większej.

15. Środek ciężkości

Mediana trójkąta ma długość 12. Oblicz odległość środka ciężkości od wierzchołka leżącego na tej medianie.

16. Promień okręgu opisanego

Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną długości 10. Oblicz promień okręgu opisanego.

17. Własność środka okręgu wpisanego

Promień okręgu wpisanego w trójkąt wynosi 4. Jaka jest odległość środka tego okręgu od każdego boku trójkąta?

18. Pole z sinusem

Dwa boki trójkąta mają 10 i 12, a kąt między nimi 30°. Oblicz pole.

19. Dowód w trójkącie równoramiennym

W trójkącie ABC mamy AB=AC. Punkt D jest środkiem BC. Uzasadnij, że ∠ABC=∠BCA.

20. Skala obwodu i pola

Obwód większej figury podobnej jest 2,5 raza większy od obwodu mniejszej. Pole mniejszej wynosi 32. Oblicz pole większej.