Nauka od podstaw · Matematyka · Liceum — klasa 3
Stereometria wymaga poprawnego przejścia od bryły do odpowiedniego przekroju lub rzutu, w którym można użyć geometrii płaskiej i trygonometrii. W aktualnym zakresie podstawowym trzeba rozpoznawać położenie prostych, kąty prosta–płaszczyzna i dwuścienne, kąty w podstawowych bryłach oraz obliczać ich pola i objętości. `liceum_3` jest platformowym rozłożeniem dydaktycznym, nie oficjalnym przypisaniem całego działu do klasy III. Konstrukcja przekrojów sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz twierdzenia o prostopadłości są jawnie oznaczone jako zakres rozszerzony.
W przestrzeni dwie proste mogą się przecinać, być równoległe albo być skośne, czyli nie przecinać się i nie leżeć w jednej płaszczyźnie. Kierunki dwóch prostych mogą być prostopadłe nawet wtedy, gdy same proste się nie przecinają.
Kąt między prostą a płaszczyzną jest kątem między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę. Kąt dwuścienny opisuje nachylenie dwóch półpłaszczyzn o wspólnej krawędzi.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma bok podstawy 4 i wysokość 4√2. Oblicz kąt między przekątną bryły a płaszczyzną podstawy.
Odpowiedź: 45°.
Objętość każdego graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość. W graniastosłupie prostym pole boczne można obliczyć jako obwód podstawy razy wysokość.
W prostopadłościanie przekątna bryły wynika z dwukrotnego użycia twierdzenia Pitagorasa i ma długość √(a²+b²+c²).
Prostopadłościan ma wymiary 3, 4 i 12. Oblicz przekątną bryły.
Odpowiedź: 13.
Objętość ostrosłupa stanowi jedną trzecią iloczynu pola podstawy i wysokości. W ostrosłupie prawidłowym wysokość spada do środka podstawy, co pozwala budować pomocnicze trójkąty prostokątne.
Do pola powierzchni bocznej potrzebujemy wysokości odpowiednich ścian bocznych, a nie zawsze krawędzi bocznej bryły.
Podstawa jest kwadratem o boku 6, a wysokość ostrosłupa wynosi 4. Oblicz objętość.
Odpowiedź: 48.
W walcu prostym przekrój osiowy jest prostokątem o bokach 2r i h. To w nim najczęściej analizujemy kąty i długości związane z osią walca.
Pole powierzchni bocznej po rozwinięciu jest prostokątem o bokach 2πr oraz h, dlatego wynosi 2πrh.
Walec ma promień 2 i wysokość 7. Oblicz pole całkowite i objętość.
Odpowiedź: P_c=36π, V=28π.
Przekrój osiowy stożka prostego jest trójkątem równoramiennym. Połowa tego przekroju tworzy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych r i h oraz przeciwprostokątnej l.
Dla kąta β między tworzącą a płaszczyzną podstawy r jest długością rzutu tworzącej na podstawę, więc sinβ=h/l, cosβ=r/l i tanβ=h/r. Kąt rozwarcia stożka jest pełnym kątem w wierzchołku przekroju osiowego.
Stożek prosty ma promień 3 i wysokość 4. Oblicz tworzącą, objętość i pole całkowite.
Odpowiedź: l=5, V=12π, P_c=24π.
Kula jest opisana jednym podstawowym parametrem — promieniem. Pole powierzchni rośnie z kwadratem promienia, a objętość z jego sześcianem.
Przy zmianie promienia warto kontrolować skalę: podwojenie r zwiększa pole czterokrotnie i objętość ośmiokrotnie.
Oblicz pole powierzchni i objętość kuli o promieniu 3.
Odpowiedź: P=36π, V=36π.
Jeśli wszystkie długości w dwóch podobnych bryłach są w stosunku k, pola odpowiadających powierzchni są w stosunku k², a objętości w stosunku k³.
Przy odwrotnym zadaniu z objętości trzeba wyciągnąć pierwiastek sześcienny ze stosunku objętości, aby odzyskać skalę długości.
Dwie podobne bryły mają skalę długości większej do mniejszej k=2. Objętość mniejszej wynosi 15. Oblicz objętość większej.
Odpowiedź: 120.
W zadaniach maturalnych dane przestrzenne często prowadzą do trójkąta prostokątnego w przekroju osiowym lub w płaszczyźnie wyznaczonej przez odpowiednie odcinki. Najpierw trzeba poprawnie wskazać rzut i kąt, dopiero potem stosować trygonometrię.
Aktualny zakres rozszerzony obejmuje wyznaczanie przekrojów sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz obliczanie ich pól. Dlatego przykład przekroju jest tutaj jednoznacznie oznaczony jako bridge rozszerzony, a nie element basic gate.
Zakres rozszerzony: sześcian ma krawędź 4. Oblicz pole przekroju przez przekątne dwóch przeciwległych ścian, tworzącego prostokąt o bokach krawędź sześcianu i przekątna ściany.
Odpowiedź: 16√2.
Linki są dobierane z opublikowanych materiałów na podstawie relacji tematu, a nie podobieństwa słów w tytule.
Materiały wskazane w tej lekcji jako wcześniejsza wiedza.
Inne formy pracy nad dokładnie tym samym zagadnieniem.
Quiz diagnostyczny
Działa bez konta. Po odpowiedzi od razu zobaczysz jednoznaczny wynik i wyjaśnienie.
1. Dwie proste w przestrzeni, które nie przecinają się, muszą być:
2. Objętość graniastosłupa to:
3. W objętości ostrosłupa występuje współczynnik:
4. Pole boczne walca wynosi:
5. W polu bocznym stożka używamy:
6. Pole powierzchni kuli o promieniu r wynosi:
7. Jeżeli skala długości brył podobnych wynosi 3, stosunek objętości wynosi:
8. Kąt między prostą a płaszczyzną mierzymy względem:
9. Dla kąta β między tworzącą stożka a podstawą poprawny jest wzór:
10. Który element jest w aktualnej podstawie stereometrii oznaczony jako rozszerzenie?
Następny krok
Jeżeli przygotowujesz się do sprawdzianu, wybierz dopasowany materiał dla tego tematu i klasy albo wygeneruj własny zestaw.