Planimetria — wyjaśnienie krok po kroku

Twierdzenie Pitagorasa pozostaje podstawowym narzędziem do obliczeń w trójkącie prostokątnym. W liceum równie ważne jest twierdzenie odwrotne i porównanie kwadratu najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych boków.

Dla boków a≤b≤c porównanie c² z a²+b² pozwala rozstrzygnąć, czy trójkąt jest ostro-, prosto- czy rozwartokątny. Jest to także dobry punkt wejścia do twierdzenia cosinusów.

Prosta poprowadzona ze środka okręgu prostopadle do cięciwy dzieli tę cięciwę na połowy. Dzięki temu długość cięciwy często obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Jeśli znamy odległość punktu zewnętrznego od środka i promień, długość odcinka stycznego również wynika z trójkąta prostokątnego.

W prostokącie przekątne są równe i dzielą się na połowy, w równoległoboku przekątne dzielą się na połowy, a w rombie dodatkowo są prostopadłe i dzielą kąty. Trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

Wielokąt foremny ma wszystkie boki i kąty równe. W zadaniach często wykorzystujemy podział na przystające trójkąty, symetrię oraz własności szczególnych wielokątów, np. sześciokąta foremnego.

Kąt wpisany i kąt środkowy oparte na tym samym łuku są powiązane relacją 1:2: kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego. Trzeba pilnować, by oba kąty rzeczywiście opierały się na tym samym łuku.

Długość łuku i pole wycinka są odpowiednimi częściami pełnego obwodu i pola koła. Udział tej części to α/360°.

Jeżeli prosta równoległa do jednego boku trójkąta przecina dwa pozostałe boki, powstają proporcjonalne odcinki. Najbezpieczniej najpierw zapisać, które wierzchołki odpowiadają sobie w podobnych trójkątach.

Równoległość jest warunkiem, a nie wnioskiem do dopisania z rysunku. Jeśli zadanie jej nie podaje ani nie pozwala jej udowodnić, nie wolno automatycznie użyć Talesa.

Podobieństwo zachowuje kształt, ale zmienia skalę. Odpowiadające kąty są równe, a odpowiadające boki pozostają w stałym stosunku k.

Obwody figur podobnych zmieniają się w skali k, natomiast pola w skali k². To rozróżnienie jest jednym z najczęstszych źródeł błędów.

Środek okręgu wpisanego jest punktem przecięcia dwusiecznych i ma równe odległości od boków. Środek okręgu opisanego jest punktem przecięcia symetralnych boków i ma równe odległości od wierzchołków.

Ortocentrum jest punktem przecięcia wysokości, a środek ciężkości — median. Środek ciężkości dzieli medianę w stosunku 2:1 od wierzchołka. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej.

Trygonometria pozwala obliczać długości i pola także wtedy, gdy figura nie daje się łatwo rozłożyć wyłącznie za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Wzór P=1/2·ab·sinγ jest szczególnie użyteczny dla dwóch boków i kąta między nimi.

Dowód geometryczny powinien wskazywać dane, użyte twierdzenie i kolejne wnioski. Nie wystarcza rysunek ani stwierdzenie, że teza jest „widoczna”.