Nauka od podstaw · Matematyka · Liceum — klasa 2
Trygonometria łączy miary kątów z proporcjami długości. W zakresie podstawowym pracujemy z kątami od 0° do 180°, korzystamy z sinusa, cosinusa i tangensa, podstawowej tożsamości oraz twierdzeń pozwalających rozwiązywać trójkąty. Miara łukowa, pełne wykresy funkcji trygonometrycznych i równania trygonometryczne należą do zakresu rozszerzonego i są tutaj tylko oznaczone jako dalszy bridge.
Dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym sinus porównuje przyprostokątną naprzeciw kąta z przeciwprostokątną, cosinus — przyprostokątną przyległą z przeciwprostokątną, a tangens — dwie przyprostokątne.
Przed zapisaniem proporcji warto zaznaczyć rozpatrywany kąt i nazwać wobec niego boki. Ta prosta czynność usuwa większość błędów z zamianą sinusa na cosinus.
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 6 i 8, a przeciwprostokątna 10. Dla kąta α naprzeciw boku 6 wyznacz sin α, cos α i tg α.
Odpowiedź: sin α=3/5, cos α=4/5, tg α=3/4.
Wartości dla 30°, 45° i 60° należy znać dokładnie. Dla kątów od 0° do 180° sinus jest nieujemny. Cosinus jest dodatni dla kąta ostrego, równy zero dla 90° i ujemny dla kąta rozwartego. Tangens ma znak cosinusa, gdy sinus jest dodatni, i nie istnieje dla 90°.
Nie trzeba w zakresie podstawowym budować pełnej teorii funkcji okresowych ani używać radianów. Te narzędzia należą do rozszerzenia.
Kąt α spełnia 90°<α<180°. Jakie znaki mają sin α, cos α i tg α?
Odpowiedź: sin α>0, cos α<0, tg α<0.
Tożsamość sin²α+cos²α=1 pozwala wyznaczyć wartość jednej funkcji z drugiej. Po spierwiastkowaniu trzeba dobrać znak zgodny z przedziałem, w którym leży kąt.
Jeżeli cos α≠0, tangens obliczamy ze wzoru tg α=sin α/cos α. Dla 90° tangens nie istnieje.
Dla kąta ostrego α wiadomo, że sin α=3/5. Wyznacz cos α i tg α.
Odpowiedź: cos α=4/5, tg α=3/4.
Dla 90°<α<180° wiadomo, że sin α=5/13. Wyznacz cos α i tg α.
Odpowiedź: cos α=-12/13, tg α=-5/12.
Znając odpowiednią parę danych, można użyć funkcji trygonometrycznej do znalezienia boku lub kąta. Twierdzenie Pitagorasa pozostaje ważnym narzędziem do kontroli długości.
Jeżeli oczekiwany jest wynik dokładny dla kąta szczególnego, nie zamieniamy √2 ani √3 na przybliżenie dziesiętne.
W trójkącie prostokątnym tg α=3/4. Przyprostokątna przyległa do α ma 12 cm. Oblicz drugą przyprostokątną i przeciwprostokątną.
Odpowiedź: Druga przyprostokątna ma 9 cm, a przeciwprostokątna 15 cm.
Twierdzenie cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa na dowolny trójkąt. Jeżeli znamy dwa boki i kąt między nimi, możemy obliczyć trzeci bok. Jeżeli znamy trzy boki, możemy wyznaczyć cosinus wybranego kąta.
W równaniu c²=a²+b²-2ab·cosγ bok c musi leżeć naprzeciw kąta γ, a γ musi być kątem między bokami a i b.
Dwa boki trójkąta mają długości 5 i 7, a kąt między nimi ma 60°. Oblicz długość trzeciego boku.
Odpowiedź: c=√39.
Twierdzenie sinusów łączy każdy bok z sinusem kąta leżącego naprzeciw tego boku. Jest szczególnie wygodne, gdy znamy parę bok–kąt oraz kolejny kąt albo bok.
Kluczowe jest poprawne sparowanie oznaczeń: bok a leży naprzeciw α, bok b naprzeciw β, a bok c naprzeciw γ.
W trójkącie a=8, α=30°, β=45°. Oblicz bok b.
Odpowiedź: b=8√2.
Jeżeli znamy dwa boki i kąt między nimi, pole liczymy ze wzoru P=1/2·a·b·sinγ. Wzór działa dla trójkątów ostrych, prostokątnych i rozwartokątnych.
Kąt użyty w sinusie musi być kątem zawartym między bokami występującymi we wzorze.
Boki a=8 i b=7 tworzą kąt 30°. Oblicz pole trójkąta.
Odpowiedź: P=14.
Trygonometria pozwala obliczać wysokości i odległości niedostępne do bezpośredniego pomiaru, jeżeli sytuację można sprowadzić do trójkąta i poprawnie zinterpretować kąt.
Na poziomie rozszerzonym dochodzą radiany, wykresy sinusa, cosinusa i tangensa, okresowość, wzory redukcyjne, wzory sumy i różnicy oraz równania trygonometryczne. Nie należy mieszać tych wymagań z zakresem podstawowym.
Drabina długości 10 m tworzy z podłożem kąt 60°. Na jakiej wysokości opiera się o pionową ścianę?
Odpowiedź: h=5√3 m.
Linki są dobierane z opublikowanych materiałów na podstawie relacji tematu, a nie podobieństwa słów w tytule.
Materiały wskazane w tej lekcji jako wcześniejsza wiedza.
Tematy, które jawnie wskazują tę lekcję jako wymagane przygotowanie.
Inne formy pracy nad dokładnie tym samym zagadnieniem.
Quiz diagnostyczny
Działa bez konta. Po odpowiedzi od razu zobaczysz jednoznaczny wynik i wyjaśnienie.
1. sin30° wynosi:
2. tg45° wynosi:
3. Dla 90°<α<180° cosα jest:
4. Tożsamość podstawowa ma postać:
5. tgα jest równy:
6. W twierdzeniu cosinusów bok c leży:
7. We wzorze P=1/2·ab·sinγ kąt γ powinien być:
8. Jeżeli cos90°=0, to tg90°:
9. Miara łukowa i równania trygonometryczne w aktualnej podstawie są wymaganiami:
10. Drabina 10 m pod kątem 30° do podłoża sięga na wysokość:
Następny krok
Jeżeli przygotowujesz się do sprawdzianu, wybierz dopasowany materiał dla tego tematu i klasy albo wygeneruj własny zestaw.