Nauka od podstaw · Matematyka · Liceum — klasa 1

Funkcja liniowa — wyjaśnienie krok po kroku

Funkcja liniowa opisuje zależności, w których wartość zmienia się o stałą wielkość przy każdym takim samym przyroście argumentu. Jej wykres jest prostą niepionową. Kluczowe jest rozumienie współczynnika kierunkowego a i wyrazu wolnego b, a nie tylko zapamiętanie wzoru.

Po tej lekcji

✓ rozpoznaję funkcję liniową w postaci f(x)=ax+b
✓ interpretuję współczynnik kierunkowy a i wyraz wolny b
✓ obliczam wartości funkcji i odczytuję punkty przecięcia z osiami
✓ wyznaczam miejsce zerowe z uwzględnieniem przypadku a=0
✓ określam monotoniczność funkcji liniowej na podstawie znaku a
✓ szkicuję wykres funkcji liniowej na podstawie wzoru lub dwóch punktów
✓ wyznaczam wzór funkcji liniowej z danych o wykresie lub własnościach
✓ rozwiązuję proste problemy praktyczne modelowane funkcją liniową

Postać f(x)=ax+b i znaczenie współczynników

Funkcja liniowa ma postać f(x)=ax+b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Współczynnik a mówi, o ile zmienia się wartość funkcji, gdy argument rośnie o 1. Wyraz wolny b to wartość f(0).

Gdy a>0, funkcja jest rosnąca. Gdy a<0, jest malejąca. Gdy a=0, otrzymujemy funkcję stałą f(x)=b.

Reguły, które warto zapamiętać

• znak a decyduje o monotoniczności
• punkt (0,b) zawsze należy do wykresu
• dla a=0 wykres jest poziomą prostą y=b

Współczynniki i wartość funkcji

Dla f(x)=2x-3 podaj a i b, oblicz f(4) i wyznacz miejsce zerowe.

1. a=2, b=-3.
2. f(4)=2·4-3=5.
3. Miejsce zerowe spełnia 2x-3=0.
4. 2x=3, więc x=3/2.

Odpowiedź: a=2, b=-3, f(4)=5, x₀=3/2.

Wykres, przecięcia z osiami i monotoniczność

Do narysowania wykresu funkcji liniowej wystarczą dwa różne punkty. Najczęściej wygodnie znaleźć punkt (0,b) oraz drugi punkt przez podstawienie prostego argumentu albo przez wyznaczenie miejsca zerowego.

Jeśli a≠0, miejsce zerowe jest dokładnie jedno i wynosi -b/a. Dla a=0 funkcja f(x)=b nie ma miejsca zerowego, gdy b≠0, a funkcja f(x)=0 ma miejscem zerowym każdą liczbę rzeczywistą.

Szkic wykresu z dwóch przecięć

Naszkicuj y=-x+4 i opisz podstawowe własności.

1. Dla x=0 otrzymujemy y=4, więc mamy punkt (0,4).
2. Miejsce zerowe: -x+4=0, zatem x=4 i punkt (4,0).
3. Łączymy punkty prostą.
4. Ponieważ a=-1<0, funkcja jest malejąca.

Odpowiedź: Wykres przechodzi przez (0,4) i (4,0); funkcja jest malejąca i ma miejsce zerowe x=4.

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Jeżeli znamy dwa punkty o różnych pierwszych współrzędnych, najpierw obliczamy a=(y₂-y₁)/(x₂-x₁), a następnie podstawiamy jeden punkt do y=ax+b, aby znaleźć b.

Jeżeli znamy współczynnik kierunkowy i jeden punkt, wystarcza jedno podstawienie. Równie użyteczne są informacje o miejscu zerowym, wartości f(0) lub innych własnościach wykresu.

Wzór z dwóch punktów

Wyznacz wzór funkcji liniowej przechodzącej przez A=(1,3) i B=(5,11).

1. a=(11-3)/(5-1)=8/4=2.
2. Podstawiamy A: 3=2·1+b.
3. b=1.
4. Otrzymujemy f(x)=2x+1.

Odpowiedź: f(x)=2x+1.

Wzór z miejsca zerowego i f(0)

Funkcja ma miejsce zerowe x=3 oraz f(0)=-6. Wyznacz jej wzór.

1. Z f(0)=b mamy b=-6.
2. Warunek f(3)=0 daje 3a-6=0.
3. 3a=6, więc a=2.

Odpowiedź: f(x)=2x-6.

Punkt przecięcia dwóch wykresów i znak funkcji

Punkt przecięcia wykresów y=f(x) i y=g(x) ma tę samą wartość y dla obu funkcji, dlatego rozwiązujemy równanie f(x)=g(x).

Warunki f(x)>0, f(x)<0, f(x)≥0 i f(x)≤0 można rozwiązać algebraicznie jak nierówności liniowe i zinterpretować na wykresie.

Przecięcie dwóch prostych

Znajdź punkt przecięcia y=2x+1 oraz y=-x+7.

1. Zrównujemy wartości: 2x+1=-x+7.
2. 3x=6, więc x=2.
3. y=2·2+1=5.

Odpowiedź: Punkt przecięcia to (2,5).

Model liniowy w zadaniach praktycznych

W modelu liniowym b często opisuje wartość początkową lub opłatę stałą, a a — zmianę przypadającą na jedną jednostkę. Trzeba jednak sprawdzić, czy sens zadania ogranicza dziedzinę.

W praktyce nie każda liczba rzeczywista musi być dopuszczalnym argumentem. Liczba sztuk jest zwykle nieujemną liczbą całkowitą, a czas lub droga mogą być ograniczone konkretnym przedziałem.

Koszt przejazdu

Opłata początkowa wynosi 8 zł, a każdy kilometr kosztuje 4 zł. Zapisz koszt c(x) i oblicz koszt 7 km.

1. Opłata stała daje b=8.
2. Koszt jednego kilometra daje a=4.
3. c(x)=4x+8 dla x≥0.
4. c(7)=28+8=36.

Odpowiedź: c(x)=4x+8 dla x≥0; koszt 7 km wynosi 36 zł.

Linki są dobierane z opublikowanych materiałów na podstawie relacji tematu, a nie podobieństwa słów w tytule.

Co dalej

Tematy, które jawnie wskazują tę lekcję jako wymagane przygotowanie.

Materiały do tego tematu

Inne formy pracy nad dokładnie tym samym zagadnieniem.

Quiz diagnostyczny

Sprawdź, które elementy tematu już rozumiesz

Działa bez konta. Po odpowiedzi od razu zobaczysz jednoznaczny wynik i wyjaśnienie.

0/10

1. W funkcji f(x)=-4x+7 współczynnik kierunkowy wynosi:

2. Co oznacza b we wzorze f(x)=ax+b?

3. Funkcja f(x)=5x-10 ma miejsce zerowe:

4. Jeżeli a<0, funkcja liniowa jest:

5. Który punkt zawsze leży na wykresie y=ax+b?

6. Współczynnik kierunkowy prostej przez (1,2) i (3,8) wynosi:

7. Punkt przecięcia y=x+1 i y=-x+5 ma pierwszą współrzędną:

8. Dla f(x)=0·x+3 liczba miejsc zerowych wynosi:

9. Która prosta NIE jest wykresem funkcji y=f(x)?

10. Koszt C(n)=15n+40 opisuje usługę. Co reprezentuje 40?

Następny krok

Przećwicz temat „Funkcja liniowa”

Jeżeli przygotowujesz się do sprawdzianu, wybierz dopasowany materiał dla tego tematu i klasy albo wygeneruj własny zestaw.

Wygeneruj materiał z tego tematu Rozwiąż własne zadanie