Nauka od podstaw · Matematyka · Liceum — klasa 2
Ciąg jest funkcją określoną na kolejnych liczbach naturalnych, dlatego jego wyrazy mają ustaloną kolejność. Ciągi arytmetyczne i geometryczne są najważniejszymi modelami szkolnymi, ale nie każdy ciąg należy do jednej z tych dwóch klas. W tym topicu najpierw uczymy się czytać różne sposoby definiowania ciągów, a dopiero potem rozpoznawać strukturę, dobierać wzory i stosować je w zadaniach.
Wzór ogólny pozwala obliczyć wybrany wyraz bez znajomości poprzednich, np. a_n=3n-2. Definicja rekurencyjna podaje wyraz początkowy i regułę przejścia do następnego wyrazu, np. a_1=2 oraz a_(n+1)=a_n+3.
W definicji rekurencyjnej trzeba konsekwentnie wykonywać kolejne kroki. ZPE wprost wymaga obliczania początkowych wyrazów takich ciągów, ale nie wymaga na poziomie podstawowym ogólnej teorii rozwiązywania każdej rekurencji.
Dla a_n=3n-2 oblicz a_6. Następnie dla b_1=4, b_(n+1)=b_n-2 podaj cztery pierwsze wyrazy.
Odpowiedź: a_6=16; ciąg rekurencyjny zaczyna się 4, 2, 0, -2.
Ciąg jest rosnący, gdy każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego, a malejący — gdy jest mniejszy. W prostych przypadkach można zbadać znak różnicy a_(n+1)-a_n.
Nie należy ograniczać pojęcia ciągu do ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Przykładowo ciąg a_n=n² ma zmienne różnice i ilorazy, więc nie należy do żadnej z tych dwóch klas.
Zbadaj monotoniczność a_n=7-3n.
Odpowiedź: Ciąg jest malejący.
Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę r między każdym kolejnym a poprzednim wyrazem. Z tego wynika wzór a_n=a_1+(n-1)r. Różnica może być dodatnia, ujemna albo równa zero.
Aby wykazać z wzoru ogólnego, że ciąg jest arytmetyczny, obliczamy a_(n+1)-a_n i pokazujemy, że wynik jest stały i nie zależy od n.
Wykaż, że a_n=7n+2 jest ciągiem arytmetycznym.
Odpowiedź: Ciąg jest arytmetyczny o różnicy r=7.
W ciągu arytmetycznym a_1=5 i r=-2. Oblicz a_12.
Odpowiedź: a_12=-17.
Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego można policzyć ze wzoru S_n=n(a_1+a_n)/2. Jeżeli nie znamy a_n, podstawiamy a_n=a_1+(n-1)r.
W zadaniach warto kontrolować, czy n oznacza liczbę sumowanych wyrazów, a nie wartość ostatniego wyrazu.
Dany jest ciąg arytmetyczny a_1=4, r=3. Oblicz S_20.
Odpowiedź: S_20=650.
W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz q. W typowych zadaniach z niezerowymi wyrazami można sprawdzać kolejne ilorazy. Bezpieczniej jest myśleć o relacji a_(n+1)=q·a_n, bo nie wymaga ona dzielenia przez zero.
Wzór ogólny ma postać a_n=a_1·q^(n-1). Dla ujemnego q znaki mogą się zmieniać naprzemiennie, dlatego taki ciąg zwykle nie jest monotoniczny.
Dany jest ciąg geometryczny a_1=81, q=1/3. Oblicz a_5.
Odpowiedź: a_5=1.
Dla q≠1 suma n początkowych wyrazów wynosi S_n=a_1(1-q^n)/(1-q). Równoważny zapis a_1(q^n-1)/(q-1) jest równie poprawny. Dla q=1 wszystkie wyrazy są równe a_1 i suma wynosi n·a_1.
Osobny przypadek q=1 jest konieczny, bo w ogólnym wzorze mianownik 1-q byłby wtedy zerem.
Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego a_1=5, q=2.
Odpowiedź: S_8=1275.
Dany jest ciąg geometryczny a_1=7, q=1. Oblicz S_12.
Odpowiedź: S_12=84.
Model arytmetyczny pasuje do sytuacji, w której w każdym kroku dodajemy tę samą wartość. Model geometryczny pasuje do sytuacji, w której każdy kolejny stan jest mnożony przez ten sam współczynnik.
Procent składany jest przykładem zmiany geometrycznej. Sam mechanizm procentu składanego został już omówiony w canonical topicu potęg i pierwiastków; tutaj używamy go jako rozpoznania struktury ciągu i pilnujemy liczby okresów.
W pierwszym rzędzie jest 18 miejsc, a w każdym kolejnym o 2 więcej. Ile miejsc jest w 15. rzędzie i ile łącznie w pierwszych 15 rzędach?
Odpowiedź: W 15. rzędzie jest 46 miejsc, a w pierwszych 15 rzędach łącznie 480.
Najpierw ustal, jak ciąg jest zdefiniowany i jakie dane są znane. Dopiero potem wybierz r, q, wzór na n-ty wyraz albo sumę. Jeżeli zadanie prosi o wykazanie własności, samo sprawdzenie kilku początkowych wyrazów nie jest dowodem dla wszystkich n.
Na poziomie rozszerzonym ciągi prowadzą dalej do granic i szeregu geometrycznego. Te zagadnienia nie są włączane do podstawowego verticalu i powinny otrzymać osobny, wyraźnie oznaczony topic.
W ciągu arytmetycznym a_3=11 i a_8=31. Wyznacz a_1 i r.
Odpowiedź: a_1=3, r=4.
Linki są dobierane z opublikowanych materiałów na podstawie relacji tematu, a nie podobieństwa słów w tytule.
Materiały wskazane w tej lekcji jako wcześniejsza wiedza.
Inne formy pracy nad dokładnie tym samym zagadnieniem.
Quiz diagnostyczny
Działa bez konta. Po odpowiedzi od razu zobaczysz jednoznaczny wynik i wyjaśnienie.
1. Dla a_n=2n+1 wartość a_5 wynosi:
2. Jeśli a_1=3 i a_(n+1)=a_n+4, to a_3 wynosi:
3. Ciąg 10, 7, 4, 1, ... jest arytmetyczny o różnicy:
4. W ciągu arytmetycznym a_1=2, r=5 wzór na a_n to:
5. Ciąg 2, 6, 18, 54, ... ma iloraz:
6. W ciągu geometrycznym a_1=4, q=2 wartość a_4 wynosi:
7. Dla q=1 suma pierwszych n wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:
8. Stały przyrost o 8 w każdym kroku jest naturalnie modelowany przez ciąg:
9. Wzrost o 5% w każdym okresie odpowiada mnożeniu przez:
10. Ciąg 1,4,9,16,... jest:
Następny krok
Jeżeli przygotowujesz się do sprawdzianu, wybierz dopasowany materiał dla tego tematu i klasy albo wygeneruj własny zestaw.