Geometria analityczna — wyjaśnienie krok po kroku

Odległość dwóch punktów wynika z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do różnic współrzędnych. Różnice można odjąć w dowolnej kolejności, ponieważ później są podnoszone do kwadratu, ale trzeba zachować tę samą parę współrzędnych.

Środek odcinka wyznaczamy przez średnie arytmetyczne odpowiednich współrzędnych. To narzędzie znane już z wcześniejszego etapu jest przydatne w licealnych zadaniach o okręgach, symetriach i figurach.

Współczynnik kierunkowy a opisuje zmianę y przypadającą na jednostkową zmianę x. Dla dwóch różnych punktów o różnych współrzędnych x liczymy a=(y_B-y_A)/(x_B-x_A).

Postać kierunkowa y=ax+b jest wygodna do odczytywania nachylenia. Postać ogólna Ax+By+C=0 obejmuje także proste pionowe, których nie da się zapisać w postaci y=ax+b.

Jeżeli znamy współczynnik kierunkowy i punkt, podstawiamy współrzędne punktu do y=ax+b i wyznaczamy b. Przy dwóch punktach najpierw obliczamy a, o ile prosta nie jest pionowa.

Jeżeli oba punkty mają tę samą współrzędną x, prosta jest pionowa i ma równanie x=c. Nie próbujemy wtedy dzielić przez zero w definicji współczynnika kierunkowego.

Dwie różne proste na płaszczyźnie mogą przecinać się w jednym punkcie albo być równoległe. Jeżeli równania opisują tę samą prostą, mają nieskończenie wiele wspólnych punktów.

Punkt przecięcia musi spełniać oba równania naraz, dlatego wyznaczamy go przez rozwiązanie układu równań. Wynik warto sprawdzić przez podstawienie do obu prostych.

Dwie niepionowe proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy. Aby poprowadzić prostą równoległą przez dany punkt, zachowujemy a i wyznaczamy nowy wyraz wolny.

Aktualna podstawa umieszcza wyznaczanie prostej prostopadłej w zakresie rozszerzonym. Zależność a₁·a₂=-1 dla dwóch niepionowych prostych pokazujemy więc jako jawnie oznaczony bridge, a nie jako obowiązkowy skill podstawowy.

Okrąg o środku S=(p,q) i promieniu r>0 ma równanie (x-p)²+(y-q)²=r². Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka: zapis (y+3)² oznacza q=-3.

Jeżeli równanie jest rozwinięte, środek i promień można odzyskać przez uzupełnianie do kwadratu. Każdą liczbę dodaną podczas domykania kwadratu trzeba zbilansować po obu stronach.

Symetria względem osi OX pozostawia współrzędną x i zmienia znak y. Symetria względem OY zmienia znak x, a symetria środkowa względem początku zmienia oba znaki.

Te same reguły stosujemy punkt po punkcie do wielokątów i do środka okręgu. Promień okręgu nie zmienia się w żadnej z tych symetrii.

Równania prostych i okręgów pozwalają zamieniać warunki geometryczne na układy algebraiczne. W zakresie podstawowym wykorzystujemy tę ideę przede wszystkim dla przecięć dwóch prostych i analizy okręgu.

Aktualna podstawa przypisuje wyznaczanie punktów wspólnych prostej i okręgu oraz dwóch okręgów do zakresu rozszerzonego. Krótkie przykłady mogą pełnić rolę bridge, ale metadata i zadania muszą jasno oznaczać ten status.