Nauka od podstaw · Matematyka · Liceum — klasa 1

Funkcja kwadratowa — wyjaśnienie krok po kroku

Funkcja kwadratowa ma wykres będący parabolą. Najważniejsze nie jest mechaniczne stosowanie jednego wzoru, lecz dobranie postaci funkcji do informacji w zadaniu: postać kanoniczna odsłania wierzchołek i ekstremum, iloczynowa miejsca zerowe, a ogólna współczynniki i wygodne obliczenie wyróżnika. Przechodzenie między tymi postaciami pozwala rozwiązywać równania, nierówności, zadania z wykresem i problemy optymalizacyjne.

Po tej lekcji

✓ rozpoznaję funkcję kwadratową f(x)=ax²+bx+c dla a≠0
✓ interpretuję postać ogólną, kanoniczną i iloczynową oraz przechodzę między nimi
✓ wyznaczam wyróżnik i poprawnie rozstrzygam liczbę rzeczywistych miejsc zerowych
✓ obliczam miejsca zerowe dokładnie, gdy istnieją
✓ wyznaczam wierzchołek, oś symetrii, kierunek ramion i zbiór wartości
✓ szkicuję wykres paraboli z wystarczającego zestawu informacji
✓ wyznaczam wzór funkcji kwadratowej z wierzchołka, miejsc zerowych, punktów lub własności
✓ rozwiązuję równania i nierówności kwadratowe z interpretacją na wykresie
✓ wyznaczam najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej na przedziale domkniętym
✓ modeluję i rozwiązuję zadania optymalizacyjne opisane funkcją kwadratową
✓ rozwiązuję proste zadania parametryczne oraz odróżniam wymagania podstawowe od rozszerzonych

Trzy postacie funkcji kwadratowej

Postać ogólna f(x)=ax²+bx+c jest zawsze dostępna. Postać kanoniczna f(x)=a(x-p)²+q pokazuje wprost wierzchołek W=(p,q) i oś symetrii x=p. Postać iloczynowa pokazuje miejsca zerowe, ale istnieje nad liczbami rzeczywistymi tylko wtedy, gdy funkcja ma rzeczywiste miejsca zerowe.

Współczynnik a jest wspólny dla wszystkich postaci. Jego znak określa kierunek ramion paraboli, a wartość bezwzględna wpływa na jej kształt. Wybór postaci powinien wynikać z danych i pytania w zadaniu.

Reguły, które warto zapamiętać

• a≠0
• postać kanoniczna ujawnia wierzchołek
• postać iloczynowa ujawnia miejsca zerowe

Z ogólnej do kanonicznej

Przekształć f(x)=x²-6x+5 do postaci kanonicznej.

1. Uzupełniamy do kwadratu: x²-6x+5=(x²-6x+9)-9+5.
2. x²-6x+9=(x-3)².
3. Zatem f(x)=(x-3)²-4.

Odpowiedź: f(x)=(x-3)²-4; wierzchołek W=(3,-4).

Wyróżnik i miejsca zerowe

Dla trójmianu ax²+bx+c wyróżnik Δ=b²-4ac rozstrzyga liczbę rzeczywistych rozwiązań równania ax²+bx+c=0. Dla Δ>0 są dwa różne pierwiastki, dla Δ=0 jeden pierwiastek podwójny, a dla Δ<0 brak pierwiastków rzeczywistych.

Jeżeli postać iloczynowa jest już podana, nie ma potrzeby ponownego liczenia delty. Miejsca zerowe można odczytać bezpośrednio z czynników.

Dwa miejsca zerowe

Rozwiąż równanie 2x²-7x+3=0.

1. a=2, b=-7, c=3.
2. Δ=(-7)²-4·2·3=49-24=25.
3. √Δ=5.
4. x₁=(7-5)/4=1/2, x₂=(7+5)/4=3.

Odpowiedź: x₁=1/2, x₂=3.

Pierwiastek podwójny

Ile miejsc zerowych ma f(x)=4x²+4x+1 i jakie ono jest?

1. Δ=4²-4·4·1=16-16=0.
2. Jest jedno miejsce zerowe.
3. x₀=-4/(2·4)=-1/2.

Odpowiedź: Jedno miejsce zerowe: x₀=-1/2.

Wierzchołek, oś symetrii, wykres i zbiór wartości

Wierzchołek W=(p,q) jest punktem najniższym paraboli dla a>0 albo najwyższym dla a<0. Oś symetrii ma równanie x=p. Z postaci ogólnej p=-b/(2a), a q można policzyć jako f(p) lub -Δ/(4a).

Dla a>0 zbiorem wartości jest [q,+∞), a dla a<0 jest (-∞,q]. W szkicu warto zaznaczyć wierzchołek, oś symetrii, miejsca zerowe, jeśli istnieją, i punkt przecięcia z osią OY równy (0,c).

Pełny opis paraboli

Opisz podstawowe własności f(x)=-2(x+1)²+8.

1. Postać kanoniczna daje W=(-1,8).
2. Oś symetrii: x=-1.
3. a=-2<0, więc ramiona są skierowane w dół i 8 jest wartością największą.
4. Zbiór wartości: (-∞,8].
5. Miejsca zerowe: -2(x+1)²+8=0, więc (x+1)²=4, czyli x=-3 lub x=1.

Odpowiedź: W=(-1,8), oś x=-1, maksimum 8, zbiór wartości (-∞,8], miejsca zerowe -3 i 1.

Wyznaczanie wzoru z danych o paraboli

Jeśli znamy wierzchołek i jeden dodatkowy punkt, najwygodniej zacząć od postaci kanonicznej. Jeśli znamy dwa miejsca zerowe i dodatkowy punkt, zaczynamy od postaci iloczynowej. Współczynnik a wyznaczamy przez podstawienie znanego punktu.

Informacje o osi symetrii, wartości ekstremalnej, przecięciu z osią OY lub jednym miejscu zerowym mogą być łączone w układ warunków. Po wyznaczeniu wzoru warto sprawdzić wszystkie dane z treści zadania.

Wzór z wierzchołka i punktu

Parabola ma wierzchołek W=(2,-3) i przechodzi przez punkt P=(0,5). Wyznacz wzór.

1. Zapisujemy f(x)=a(x-2)²-3.
2. Podstawiamy P: 5=a(0-2)²-3.
3. 5=4a-3, więc 4a=8 i a=2.
4. f(x)=2(x-2)²-3.

Odpowiedź: f(x)=2(x-2)²-3.

Wzór z miejsc zerowych i punktu

Miejsca zerowe to -1 i 3, a f(0)=-6. Wyznacz wzór.

1. Zapisujemy f(x)=a(x+1)(x-3).
2. Podstawiamy x=0: -6=a·1·(-3).
3. -6=-3a, więc a=2.
4. f(x)=2(x+1)(x-3).

Odpowiedź: f(x)=2(x+1)(x-3).

Równania i nierówności kwadratowe

Nierówność kwadratową można rozumieć jako pytanie, dla jakich argumentów wykres znajduje się nad, na albo pod osią OX. Po wyznaczeniu miejsc zerowych trzeba uwzględnić kierunek ramion i rodzaj nierówności.

Dla a>0 i dwóch miejsc zerowych funkcja jest dodatnia na zewnątrz przedziału między pierwiastkami i ujemna wewnątrz. Dla a<0 sytuacja jest odwrotna. Przy znakach ≥ lub ≤ miejsca zerowe wchodzą do zbioru rozwiązań.

Nierówność z dwoma miejscami zerowymi

Rozwiąż x²-x-6≤0.

1. x²-x-6=(x-3)(x+2).
2. Miejsca zerowe: -2 i 3.
3. a=1>0, więc parabola jest nie wyżej niż oś OX między miejscami zerowymi.
4. Znak ≤ włącza oba końce.

Odpowiedź: x∈[-2,3].

Największa i najmniejsza wartość na przedziale domkniętym

Na przedziale domkniętym [u,v] porównujemy wartości funkcji na końcach oraz w wierzchołku, jeżeli jego pierwsza współrzędna p należy do tego przedziału. Sam fakt, że wierzchołek jest minimum lub maksimum globalnym, nie wystarcza do wskazania drugiego ekstremum na ograniczonym przedziale.

Ekstrema na przedziale

Wyznacz najmniejszą i największą wartość f(x)=(x-2)²+1 na [0,5].

1. Wierzchołek ma x=2 i należy do [0,5], więc f(2)=1.
2. Na lewym końcu f(0)=5.
3. Na prawym końcu f(5)=10.
4. Porównujemy 1, 5 i 10.

Odpowiedź: Wartość najmniejsza to 1 dla x=2, a największa 10 dla x=5.

Optymalizacja z funkcją kwadratową

W zadaniu optymalizacyjnym najpierw wybieramy zmienną i zapisujemy dziedzinę wynikającą z kontekstu. Następnie wyrażamy wielkość, którą maksymalizujemy albo minimalizujemy, jako funkcję jednej zmiennej.

Jeśli otrzymujemy funkcję kwadratową, ekstremum zwykle wynika z wierzchołka, ale trzeba sprawdzić, czy argument wierzchołka należy do sensownej dziedziny modelu i odpowiedzieć w jednostkach z zadania.

Największe pole prostokąta

Prostokąt ma obwód 20 cm. Jakie wymiary dają największe pole?

1. Niech jeden bok ma x cm. Z 2x+2y=20 mamy y=10-x, gdzie 0<x<10.
2. Pole P(x)=x(10-x)=-x²+10x.
3. Wierzchołek ma x=-10/(2·(-1))=5.
4. Wtedy y=5 i P=25.

Odpowiedź: Największe pole 25 cm² ma kwadrat 5 cm × 5 cm.

Parametr — most do zakresu rozszerzonego

Analiza równań i nierówności kwadratowych z parametrem jest wymaganiem zakresu rozszerzonego. Najprostsze zadania opierają się na warunkach dotyczących wyróżnika: Δ>0 dla dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych, Δ=0 dla jednego, Δ<0 dla braku rzeczywistych pierwiastków.

Jeżeli warunek dotyczy znaków albo położenia pierwiastków, samo badanie delty może nie wystarczyć. W tym materiale ograniczamy się do bezpiecznego mostu: liczby rozwiązań i prostych własności wierzchołka.

Parametr i liczba rozwiązań

Dla jakich m równanie x²+(m-2)x+1=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste?

1. Δ=(m-2)²-4.
2. Potrzebujemy Δ>0, więc (m-2)²>4.
3. |m-2|>2.
4. Stąd m<0 lub m>4.

Odpowiedź: m∈(-∞,0)∪(4,+∞).

Linki są dobierane z opublikowanych materiałów na podstawie relacji tematu, a nie podobieństwa słów w tytule.

Co dalej

Tematy, które jawnie wskazują tę lekcję jako wymagane przygotowanie.

Równania i nierówności →

Materiały do tego tematu

Inne formy pracy nad dokładnie tym samym zagadnieniem.

Quiz diagnostyczny

Sprawdź, które elementy tematu już rozumiesz

Działa bez konta. Po odpowiedzi od razu zobaczysz jednoznaczny wynik i wyjaśnienie.

0/12

1. Który warunek jest konieczny, aby ax²+bx+c opisywało funkcję kwadratową?

2. Wierzchołek funkcji f(x)=-3(x-4)²+2 to:

3. Jeżeli Δ<0, funkcja kwadratowa nad liczbami rzeczywistymi:

4. Oś symetrii funkcji f(x)=2(x+5)²-1 ma równanie:

5. Miejsca zerowe f(x)=3(x-2)(x+4) to:

6. Funkcja f(x)=2(x-1)²+7 ma wartość najmniejszą równą:

7. Rozwiązaniem nierówności (x-1)(x-5)≤0 jest:

8. Funkcja ma miejsca zerowe -2 i 3 oraz a=1. Jej postać iloczynowa to:

9. Przesunięcie wykresu y=x² o 3 w prawo daje:

10. Przy szukaniu ekstremów funkcji kwadratowej na [a,b] należy:

11. W modelu P(x)=-x²+12x maksimum występuje dla x=

12. Równanie x²+kx+4=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy:

Następny krok

Przećwicz temat „Funkcja kwadratowa”

Jeżeli przygotowujesz się do sprawdzianu, wybierz dopasowany materiał dla tego tematu i klasy albo wygeneruj własny zestaw.

Wygeneruj materiał z tego tematu Rozwiąż własne zadanie