Czy 6:9=10:15?
Sprawdź proporcję przez uproszczenie.
- 1. 6:9=2:3.
- 2. 10:15=2:3.
Odpowiedź: Tak, to proporcja.
Nauka od podstaw · Matematyka · Klasa 6
Proporcje — wyjaśnienie krok po kroku
Proporcja to równość dwóch stosunków, na przykład 2:3=8:12. Możemy ją sprawdzić przez uproszczenie obu stosunków albo przez porównanie iloczynów krzyżowych. Proporcje są użyteczne, gdy dwie wielkości zmieniają się w tym samym stałym stosunku, np. liczba jednakowych produktów i ich łączny koszt przy stałej cenie sztuki.
Po tej lekcji
- ✓ rozpoznaję proporcję jako równość dwóch stosunków
- ✓ sprawdzam proporcję przez uproszczenie stosunków
- ✓ sprawdzam proporcję przez iloczyny krzyżowe
- ✓ wyznaczam brakujący wyraz proporcji
- ✓ zapisuję proporcję na podstawie prostego zadania tekstowego
- ✓ rozpoznaję prostą zależność wprost proporcjonalną
- ✓ obliczam koszt przy stałej cenie jednostkowej
- ✓ kontroluję wynik przez podstawienie do proporcji
Proporcja to równość dwóch stosunków
Zapis a:b=c:d oznacza, że stosunek a do b ma tę samą wartość co stosunek c do d. Wyrazy b i d nie mogą być równe zero, bo odpowiadają mianownikom w zapisie ułamkowym.
Reguły, które warto zapamiętać
- • a:b=c:d jest równoważne a/b=c/d, gdy b≠0 i d≠0.
- • Jeśli oba stosunki upraszczają się do tej samej postaci, tworzą proporcję.
Czy 4:7=8:15?
Sprawdź przez przybliżone porównanie stosunków.
- 1. 4:7 nie upraszcza się do 8:15.
- 2. Możemy też sprawdzić iloczyny krzyżowe: 4·15=60, 7·8=56.
Odpowiedź: Nie.
Iloczyny krzyżowe
Dla proporcji a/b=c/d zachodzi a·d=b·c. Ta własność pozwala szybko sprawdzić proporcję lub znaleźć brakujący wyraz. Nie jest to osobna reguła bez znaczenia — wynika z pomnożenia obu stron równości przez b·d.
Reguły, które warto zapamiętać
- • Jeśli a:b=c:d, to a·d=b·c.
- • Równość iloczynów krzyżowych działa przy niezerowych drugich członach stosunków.
Sprawdź 3:5=12:20
Użyj iloczynów krzyżowych.
- 1. 3·20=60.
- 2. 5·12=60.
- 3. Iloczyny są równe.
Odpowiedź: Tak.
Brakujący wyraz proporcji
W proporcji 4:7=20:x możemy użyć wspólnego mnożnika albo iloczynów krzyżowych. Z 4x=7·20 otrzymujemy 4x=140, więc x=35. Po obliczeniu warto podstawić wynik i sprawdzić oba stosunki.
4:7=20:x
Oblicz x.
- 1. 4x=7·20.
- 2. 4x=140.
- 3. x=35.
- 4. Sprawdzenie: 4:7=20:35.
Odpowiedź: x=35
x:9=8:12
Oblicz x.
- 1. 12x=9·8.
- 2. 12x=72.
- 3. x=6.
Odpowiedź: x=6
Zależność wprost proporcjonalna
Jeżeli jedna wielkość jest stałą wielokrotnością drugiej, mówimy o zależności wprost proporcjonalnej. Przy stałej cenie 6 zł za sztukę koszt y i liczba sztuk x spełniają y=6x. Podwojenie liczby sztuk podwaja koszt.
Reguły, które warto zapamiętać
- • Wprost proporcjonalnie: y=kx dla stałego k.
- • Dla x≠0 iloraz y/x jest stały i równy k.
Cena jednostkowa
3 zeszyty kosztują 18 zł. Ile kosztuje 5 takich zeszytów?
- 1. Cena jednego zeszytu: 18:3=6 zł.
- 2. 5·6=30 zł.
Odpowiedź: 30 zł
Tabela wartości
Jeśli y=4x, oblicz y dla x=7.
- 1. y=4·7.
Odpowiedź: 28
Proporcja w zadaniu tekstowym
Przed zapisaniem proporcji nazwij obie wielkości i zachowaj tę samą kolejność po obu stronach. Jeśli zapisujesz „liczba sztuk : koszt”, po drugiej stronie również musi być „liczba sztuk : koszt”. Pomieszanie kolejności daje błędne równanie.
Farba i powierzchnia
2 l farby wystarczają na 16 m². Ile litrów potrzeba na 40 m² przy tym samym zużyciu?
- 1. Zapisujemy litry:powierzchnia = 2:16=x:40.
- 2. 16x=2·40=80.
- 3. x=5.
Odpowiedź: 5 l
Najczęstsze błędy
Nie mieszaj kolejności wielkości po dwóch stronach proporcji. Nie używaj automatycznie proporcji w każdej sytuacji — najpierw sprawdź, czy zależność rzeczywiście jest wprost proporcjonalna. Przy iloczynach krzyżowych zapisz równanie i dopiero potem dziel. Na końcu podstaw wynik do pierwotnej proporcji.
Reguły, które warto zapamiętać
- • Jeśli lewa strona to sztuki:koszt, prawa też musi mieć kolejność sztuki:koszt.
- • Równe iloczyny krzyżowe są testem proporcji.
- • Wynik powinien zachowywać kierunek zmiany: więcej sztuk przy stałej cenie oznacza większy koszt.
Materiały i dalsza nauka
Linki są dobierane z opublikowanych materiałów na podstawie relacji tematu, a nie podobieństwa słów w tytule.
Najpierw warto znać
Materiały wskazane w tej lekcji jako wcześniejsza wiedza.
Co dalej
Tematy, które jawnie wskazują tę lekcję jako wymagane przygotowanie.
Materiały do tego tematu
Inne formy pracy nad dokładnie tym samym zagadnieniem.
Quiz diagnostyczny
Sprawdź, które elementy tematu już rozumiesz
Działa bez konta. Po odpowiedzi od razu zobaczysz jednoznaczny wynik i wyjaśnienie.
0/8
1. Który zapis jest proporcją?
2. Dla 3:5=12:20 iloczyny krzyżowe wynoszą:
3. 4:7=20:x. Wartość x to:
4. x:9=8:12. Wartość x to:
5. Jeśli y=5x, to dla x=6 mamy:
6. 4 sztuki kosztują 28 zł. Ile kosztuje 1 sztuka?
7. 2 l farby na 16 m² oznacza przy tym samym zużyciu na 32 m²:
8. Najlepszy sposób sprawdzenia wyliczonego x w proporcji to:
Następny krok
Przećwicz temat „Proporcje”
Jeżeli przygotowujesz się do sprawdzianu, wybierz dopasowany materiał dla tego tematu i klasy albo wygeneruj własny zestaw.