Matematyka · Klasa 8 · Zagadnienie
Twierdzenie Pitagorasa — wzór, zastosowanie i brakujący bok
Twierdzenie Pitagorasa łączy długości boków trójkąta prostokątnego: suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. To najczęściej używany wzór geometrii, więc warto rozumieć go, a nie tylko pamiętać.
Zapamiętaj w 30 sekund
Najważniejsze na już
- W trójkącie prostokątnym a² + b² = c², gdzie c to najdłuższy bok — przeciwprostokątna.
- Wzór działa tylko w trójkącie prostokątnym, czyli takim, który ma kąt 90°.
- Aby znaleźć przeciwprostokątną, dodajesz kwadraty przyprostokątnych i pierwiastkujesz.
- Aby znaleźć przyprostokątną, odejmujesz kwadrat drugiej przyprostokątnej od kwadratu przeciwprostokątnej.
- Wzór
- a² + b² = c², gdzie c jest przeciwprostokątną (najdłuższy bok).
- Przeciwprostokątna
- c = √(a² + b²).
- Przyprostokątna
- a = √(c² − b²).
- Warunek stosowania
- Dokładnie jeden kąt ma miarę 90°.
- Odległość punktów
- |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) — to to samo twierdzenie.
Naucz się w 5 minut
Wyjaśnienie krok po kroku
Skąd bierze się wzór
Kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej ma takie samo pole jak dwa kwadraty zbudowane na przyprostokątnych razem. Zapisujemy to zależnością a² + b² = c².
W trójkącie prostokątnym kąt prosty leży zawsze między przyprostokątnymi. Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższym bokiem, więc do wzoru zawsze wstawiamy ją po prawej stronie.
Gdzie używa się twierdzenia
Twierdzenie pozwala policzyć przekątną prostokąta, wysokość w trójkącie równoramiennym, długość przekątnej w graniastosłupie i odległość między punktami w układzie współrzędnych.
Typowe trójki pitagorejskie, czyli zestawy liczb całkowitych spełniających wzór, to 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 i 7-24-25. Rozpoznanie takiej trójki oszczędza czas na sprawdzianie.
- 3, 4, 5
- 5, 12, 13
- 8, 15, 17
- 7, 24, 25
Przykład: Obliczanie przeciwprostokątnej
Przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm. Ile ma przeciwprostokątna?
- Wstaw do wzoru: c² = 6² + 8².
- Policz kwadraty: c² = 36 + 64 = 100.
- Pierwiastkuj: c = √100 = 10 cm.
Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma 10 cm (trójka 6-8-10 to 2 · 3-4-5).
Przykład: Obliczanie przyprostokątnej
Przeciwprostokątna ma 13 cm, jedna przyprostokątna 5 cm. Ile ma druga?
- Wstaw do wzoru: a² = c² − b² = 13² − 5².
- Policz kwadraty: a² = 169 − 25 = 144.
- Pierwiastkuj: a = √144 = 12 cm.
Odpowiedź: Druga przyprostokątna ma 12 cm (trójka 5-12-13).
Musisz wiedzieć na sprawdzian
Typowe błędy i pułapki
Błąd: Wstawienie przyprostokątnej po prawej stronie wzoru (a² + c² = b²).
Jak zrobić to dobrze: Po prawej zawsze jest najdłuższy bok — przeciwprostokątna, naprzeciw kąta prostego.
Błąd: Użycie twierdzenia w trójkącie, który nie ma kąta prostego.
Jak zrobić to dobrze: Najpierw sprawdź kąt 90°. Bez kąta prostego wzór Pitagorasa nie obowiązuje.
Błąd: Zapominanie o pierwiastkowaniu po zsumowaniu kwadratów.
Jak zrobić to dobrze: a² + b² = c² daje kwadrat długości. Ostatni krok to pierwiastek, żeby otrzymać długość boku.
Podsumowanie
- a² + b² = c² działa wyłącznie w trójkącie prostokątnym.
- c to zawsze najdłuższy bok — przeciwprostokątna.
- Szukając przyprostokątnej, odejmujesz kwadraty, nie dodajesz.
- Trójki 3-4-5, 5-12-13 i 8-15-17 warto znać na pamięć.
- Twierdzenie liczy też przekątne, wysokości i odległości punktów.
Sprawdź się
Quiz diagnostyczny
8 pytań z natychmiastowymi wyjaśnieniami. Quiz działa bez konta; po zalogowaniu wynik zapisuje się w Mojej nauce.
Pytanie 1 z 8
Przeciwprostokątna leży:
Przećwicz
Zadania i karty pracy
Przygotuj się do sprawdzianu
Gotowy materiał i generator
Podnieś limit odblokowań
Płatny dostęp usuwa miesięczny limit rozwiązań i kart pracy dla całej nauki.
Podnieś limit odblokowań- Gotowe materiały: Matematyka — Sprawdziany, kartkówki i testy do tematu „Twierdzenie Pitagorasa — wzór, zastosowanie i brakujący bok" oraz całego działu.
- Wygeneruj własny zestaw — Dobierz liczbę zadań i poziom trudności pod ten temat i klasę.
- Testy diagnozujące z odpowiedziami — Sprawdź poziom przed sprawdzianem i wróć do luk w rozumieniu tematu.
Darmowe konto daje 5 odblokowań miesięcznie. Płatny dostęp podnosi limit.
Załóż darmowe kontoCo dalej