Matematyka · Klasa 8 · Zagadnienie
Pierwiastki
Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania. W klasie 8 używa się głównie pierwiastka kwadratowego i sześciennego, także do obliczeń z twierdzeniem Pitagorasa.
Zapamiętaj w 30 sekund
Najważniejsze na już
- Pierwiastek kwadratowy √a to liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje a. √25 = 5, bo 5² = 25.
- Pierwiastek sześcienny ∛a to liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje a. ∛27 = 3, bo 3³ = 27.
- Pierwiastek z iloczynu rozkładamy na iloczyn pierwiastków: √(a·b) = √a · √b — to podstawa wyłączania czynnika przed znak pierwiastka.
- Pierwiastek kwadratowy
- √a = b, gdy b² = a i b ≥ 0
- Pierwiastek sześcienny
- ∛a = b, gdy b³ = a
- Pierwiastek z iloczynu
- √(a·b) = √a · √b
- Kwadraty do zapamiętania
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144
Naucz się w 5 minut
Wyjaśnienie krok po kroku
Pierwiastek kwadratowy
Pierwiastek kwadratowy liczby nieujemnej a oznaczamy √a. To taka liczba nieujemna, której kwadrat wynosi a. Na przykład √49 = 7, bo 7 · 7 = 49. Pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych, dlatego pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego nie może stać liczba ujemna.
Wynik pierwiastkowania może być liczbą naturalną (√36 = 6), ale często jest liczbą niewymierną (√2 ≈ 1,41). Takich pierwiastków nie da się zapisać dokładnie ułamkiem — zostawiamy je w postaci symbolicznej albo podajemy przybliżenie.
Wyłączanie czynnika przed pierwiastek
Duże liczby pod pierwiastkiem rozkładamy na iloczyn liczby kwadratowej i reszty. Przykład: √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2. Dzięki temu wynik jest prostszy i dokładny, a nie zaokrąglony.
- √(a²·b) = a√b dla a ≥ 0, b ≥ 0
Przykład: Uprość √72
Zapisz √72 w najprostszej postaci.
- Rozłóż 72 na iloczyn z liczbą kwadratową: 72 = 36 · 2.
- Zastosuj √(a·b) = √a · √b: √72 = √36 · √2.
- Wyłącz pierwiastek z kwadratu: √36 = 6, więc √72 = 6√2.
Odpowiedź: √72 = 6√2 ≈ 8,49.
Musisz wiedzieć na sprawdzian
Typowe błędy i pułapki
Błąd: Rozkładanie pierwiastka z sumy, np. √(9 + 16) = √9 + √16.
Jak zrobić to dobrze: Rozdzielać można tylko iloczyn (i iloraz). √(9 + 16) = √25 = 5, a nie 3 + 4 = 7.
Błąd: Wyłączanie przed pierwiastek liczby, która nie jest pełnym kwadratem.
Jak zrobić to dobrze: √36 = 6, bo 36 = 6². Z √18 nie da się wyłączyć 4, bo 18 nie dzieli się przez 4 bez reszty — szukaj największego kwadratu: 18 = 9 · 2, więc √18 = 3√2.
Podsumowanie
- Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania.
- √(a·b) = √a·√b pozwala wyłączyć pełny kwadrat przed pierwiastek.
- Pod pierwiastkiem stopnia parzystego liczba musi być nieujemna.
- Pierwiastek kwadratowy liczby nieujemnej jest zawsze nieujemny.
- √2, √3 i podobne są niewymierne — zapisujemy je symbolicznie lub z przybliżeniem.
Sprawdź się
Quiz diagnostyczny
8 pytań z natychmiastowymi wyjaśnieniami. Quiz działa bez konta; po zalogowaniu wynik zapisuje się w Mojej nauce.
Pytanie 1 z 8
√64 =
Przećwicz
Zadania i karty pracy
Przygotuj się do sprawdzianu
Gotowy materiał i generator
Podnieś limit odblokowań
Płatny dostęp usuwa miesięczny limit rozwiązań i kart pracy dla całej nauki.
Podnieś limit odblokowań- Gotowe materiały: Matematyka — Sprawdziany, kartkówki i testy do tematu „Pierwiastki" oraz całego działu.
- Wygeneruj własny zestaw — Dobierz liczbę zadań i poziom trudności pod ten temat i klasę.
- Testy diagnozujące z odpowiedziami — Sprawdź poziom przed sprawdzianem i wróć do luk w rozumieniu tematu.
Darmowe konto daje 5 odblokowań miesięcznie. Płatny dostęp podnosi limit.
Załóż darmowe kontoCo dalej