Matematyka · Klasa 6 · Zagadnienie
Proporcje
Proporcja to równość dwóch stosunków. Używamy jej do zadań o skali, przepisach, prędkości i cenach — wszędzie tam, gdzie dwie wielkości rosną razem w stałym tempie.
Zapamiętaj w 30 sekund
Najważniejsze na już
- Proporcja to zapis a : b = c : d, czyli dwa stosunki o tej samej wartości.
- W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów środkowych: a · d = b · c.
- Wielkości wprost proporcjonalne rosną razem (więcej towaru — wyższa cena); odwrotnie proporcjonalne — jedna rośnie, druga maleje (więcej osób — krótsza praca).
- Proporcja
- a : b = c : d
- Mnożenie na krzyż
- a · d = b · c
- Wprost proporcjonalne
- stały iloraz, obie wielkości rosną razem
- Odwrotnie proporcjonalne
- stały iloczyn, jedna rośnie — druga maleje
- Skala
- skala 1 : 100 000 to też proporcja: 1 cm na mapie = 1 km w terenie
Naucz się w 5 minut
Wyjaśnienie krok po kroku
Własność proporcji (mnożenie na krzyż)
W proporcji a : b = c : d zachodzi równość a · d = b · c. To tak zwane mnożenie na krzyż: wyrazy skrajne (a i d) po jednej stronie, wyrazy środkowe (b i c) po drugiej. Gdy trzy liczby są znane, czwartą wyliczamy przekształceniem tego równania.
Na przykład z proporcji 3 : 4 = x : 12 dostajemy 3 · 12 = 4 · x, czyli 36 = 4x, a więc x = 9. Sprawdzenie: 3 : 4 = 0,75 oraz 9 : 12 = 0,75 — oba stosunki są równe.
Proporcjonalność wprost i odwrotnie
Przy proporcjonalności wprost iloraz dwóch wielkości jest stały. Jeśli 2 kg jabłek kosztuje 8 zł, to 1 kg kosztuje 4 zł, a 5 kg — 20 zł. Cena rośnie razem z masą, a iloraz (cena/masa) wynosi 4 zł za kilogram.
Przy proporcjonalności odwrotnie stały jest iloczyn. Jeśli 4 osoby wykonają pracę w 6 dni, to 8 osób (dwa razy więcej) wykona ją w 3 dni (dwa razy krócej), bo 4 · 6 = 8 · 3 = 24 osobodni.
Przykład: Brakujący wyraz proporcji
Rozwiąż proporcję 3 : 4 = x : 12.
- Zastosuj mnożenie na krzyż: 3 · 12 = 4 · x.
- Policz lewą stronę: 36 = 4x.
- Podziel przez 4: x = 9.
- Sprawdź stosunki: 3 : 4 = 9 : 12 = 0,75.
Odpowiedź: x = 9.
Przykład: Proporcjonalność odwrotna
4 osoby wykonają pracę w 6 dni. W ilu dniach zrobi to 8 osób?
- Więcej osób pracuje krócej — to proporcjonalność odwrotna.
- Iloczyn jest stały: 4 · 6 = 24 osobodni.
- Podziel przez nową liczbę osób: 24 : 8 = 3.
Odpowiedź: 8 osób wykona pracę w 3 dni.
Musisz wiedzieć na sprawdzian
Typowe błędy i pułapki
Błąd: Mnożenie „na krzyż" wyrazów z tej samej strony (a · b zamiast a · d).
Jak zrobić to dobrze: Krzyż łączy wyrazy skrajne z jednej strony proporcji z wyrazami środkowymi z drugiej: a : b = c : d → a · d = b · c.
Błąd: Używanie proporcjonalności wprost do wielkości odwrotnie proporcjonalnych.
Jak zrobić to dobrze: Sprawdź kierunek zależności. Gdy więcej ludzi skraca czas pracy, to proporcjonalność odwrotna: mnożymy przez siebie, nie mnożymy na krzyż ilorazów.
Błąd: Mylenie stosunku a : b z ułamkiem a/b przy odwracaniu proporcji.
Jak zrobić to dobrze: W proporcji odwrotnej odwracasz jeden stosunek: a : b = d : c, a nie a : b = c : d.
Podsumowanie
- Proporcja to równość dwóch stosunków: a : b = c : d.
- Rozwiązujesz ją mnożeniem na krzyż: a · d = b · c.
- Najpierw ustal, czy wielkości są wprost, czy odwrotnie proporcjonalne.
- Skala mapy to szczególny przypadek proporcji.
- Zawsze sprawdź wynik, porównując oba stosunki.
Sprawdź się
Quiz diagnostyczny
8 pytań z natychmiastowymi wyjaśnieniami. Quiz działa bez konta; po zalogowaniu wynik zapisuje się w Mojej nauce.
Pytanie 1 z 8
Który zapis jest proporcją?
Przećwicz
Zadania i karty pracy
Przygotuj się do sprawdzianu
Gotowy materiał i generator
Podnieś limit odblokowań
Płatny dostęp usuwa miesięczny limit rozwiązań i kart pracy dla całej nauki.
Podnieś limit odblokowań- Gotowe materiały: Matematyka — Sprawdziany, kartkówki i testy do tematu „Proporcje" oraz całego działu.
- Wygeneruj własny zestaw — Dobierz liczbę zadań i poziom trudności pod ten temat i klasę.
- Testy diagnozujące z odpowiedziami — Sprawdź poziom przed sprawdzianem i wróć do luk w rozumieniu tematu.
Darmowe konto daje 5 odblokowań miesięcznie. Płatny dostęp podnosi limit.
Załóż darmowe kontoCo dalej