Pierwiastek kwadratowy
Oblicz √49.
- 1. 7² = 49
- 2. √49 = 7
Odpowiedź: 7
Nauka od podstaw · Matematyka · Klasa 8
Pierwiastki — wyjaśnienie krok po kroku
Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej to taka liczba nieujemna, której kwadrat daje liczbę pod pierwiastkiem. Pierwiastek sześcienny działa analogicznie dla trzeciej potęgi. Rozkład liczby na czynniki pomaga upraszczać wyniki, które nie są liczbami całkowitymi.
Po tej lekcji
- ✓ obliczam pierwiastki kwadratowe z pełnych kwadratów
- ✓ obliczam proste pierwiastki sześcienne
- ✓ upraszczam pierwiastki przez rozkład liczby na czynniki
- ✓ wyłączam czynnik przed znak pierwiastka
- ✓ wykonuję działania na podobnych pierwiastkach
- ✓ stosuję pierwiastki w prostych zadaniach geometrycznych
Co oznaczają √a i ∛a?
Symbol √ oznacza główny, czyli nieujemny pierwiastek kwadratowy. Dlatego √49 = 7, a nie ±7. Symbol ∛ oznacza pierwiastek sześcienny — szukamy liczby, której trzecia potęga daje liczbę pod znakiem pierwiastka.
Reguły, które warto zapamiętać
- • Dla każdej liczby rzeczywistej a zachodzi √(a²)=|a|.
- • Jeżeli długość boku jest dodatnia, wybieramy dodatnią wartość pierwiastka.
Pierwiastek sześcienny
Oblicz ∛125.
- 1. 5³ = 125
- 2. ∛125 = 5
Odpowiedź: 5
Upraszczanie pierwiastków
Szukamy największego pełnego kwadratu będącego czynnikiem liczby pod pierwiastkiem. Następnie wyłączamy jego pierwiastek przed znak √.
Reguły, które warto zapamiętać
- • √(ab)=√a·√b dla a≥0 i b≥0.
- • Wynik upraszczamy tak długo, aż pod pierwiastkiem nie pozostanie pełny kwadrat większy od 1.
Uprość √72
Uprość √72.
- 1. 72 = 36·2
- 2. √72 = √36·√2
- 3. √72 = 6√2
Odpowiedź: 6√2
Uprość √45
Uprość √45.
- 1. 45 = 9·5
- 2. √45 = √9·√5
- 3. √45 = 3√5
Odpowiedź: 3√5
Działania na pierwiastkach
Dodajemy i odejmujemy tylko podobne pierwiastki, czyli takie, które po uproszczeniu mają tę samą część podpierwiastkową. Przy mnożeniu nieujemnych liczb pod pierwiastkami możemy skorzystać z √a·√b=√(ab).
Dodawanie podobnych pierwiastków
Oblicz 3√2 + 5√2.
- 1. Dodaj współczynniki 3 i 5.
- 2. (3+5)√2 = 8√2
Odpowiedź: 8√2
Mnożenie pierwiastków
Oblicz √3·√12.
- 1. √3·√12 = √36
- 2. √36 = 6
Odpowiedź: 6
Najczęstsze błędy
Nie zapisuj √64 jako ±8 — symbol √64 oznacza 8. Nie dodawaj różnych części podpierwiastkowych, np. √2+√3 nie jest równe √5. Przed dodawaniem zawsze sprawdź, czy pierwiastki da się uprościć do podobnych.
Reguły, które warto zapamiętać
- • √(a+b) zwykle nie jest równe √a+√b.
- • 3√5+4√5=7√5, ale 3√5+4√2 nie da się połączyć w jeden podobny pierwiastek.
Materiały i dalsza nauka
Linki są dobierane z opublikowanych materiałów na podstawie relacji tematu, a nie podobieństwa słów w tytule.
Materiały do tego tematu
Inne formy pracy nad dokładnie tym samym zagadnieniem.
Quiz diagnostyczny
Sprawdź, które elementy tematu już rozumiesz
Działa bez konta. Po odpowiedzi od razu zobaczysz jednoznaczny wynik i wyjaśnienie.
0/8
1. √64 =
2. √100 =
3. √45 upraszcza się do:
4. 2√7 + 5√7 =
5. √2·√8 =
6. ∛27 =
7. Bok kwadratu o polu 25 cm² ma:
8. √72 =
Następny krok
Przećwicz temat „Pierwiastki”
Jeżeli przygotowujesz się do sprawdzianu, wybierz dopasowany materiał dla tego tematu i klasy albo wygeneruj własny zestaw.