Nauka · Matematyka · Klasa 5

Ułamki zwykłe — wyjaśnienie od podstaw, przykłady i zadania | Klasa 5

Ułamek zwykły pozwala zapisać część całości, wynik dzielenia albo położenie liczby pomiędzy liczbami całkowitymi. W tym materiale przechodzimy od znaczenia licznika i mianownika do działań na ułamkach. Każda reguła jest połączona z przykładem i zadaniami, dzięki czemu możesz zrozumieć metodę zamiast uczyć się samego wyniku.

Czego się nauczysz

✓rozumieć, co oznaczają licznik i mianownik
✓rozpoznawać ułamki równe oraz poprawnie je rozszerzać i skracać
✓porównywać ułamki o jednakowych i różnych mianownikach
✓sprowadzać ułamki do wspólnego mianownika
✓dodawać i odejmować ułamki zwykłe
✓zamieniać ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną i odwrotnie
✓mnożyć i dzielić ułamki zwykłe oraz proste liczby mieszane
✓odczytywać i zaznaczać ułamki na osi liczbowej
✓łączyć proste ułamki zwykłe z zapisem dziesiętnym i porównywać ich wartości
✓obliczać ułamek liczby i odtwarzać całość z podanej części

Warto najpierw znać

mnożenie i dzielenie liczb naturalnych
dzielniki i wielokrotności

1. Co oznacza ułamek zwykły?

Zapis 3/5 oznacza, że całość została podzielona na 5 równych części, a rozpatrujemy 3 takie części. Liczba nad kreską to licznik, a liczba pod kreską to mianownik.

Mianownik mówi, na ile równych części dzielimy całość. Dlatego nie może być równy zero. Licznik mówi, ile takich części bierzemy. Ułamek można też rozumieć jako dzielenie: 3/5 oznacza 3 : 5.

Zasady

→licznik znajduje się nad kreską ułamkową
→mianownik znajduje się pod kreską i nie może być równy 0
→a/b oznacza również a : b

Przykład

Przykład: 5/8

Polecenie: Co mówią licznik i mianownik w ułamku 5/8?

2. Ułamki równe — rozszerzanie i skracanie

Ułamki mogą wyglądać inaczej, a mimo to oznaczać tę samą liczbę. Na przykład 1/2, 2/4 i 3/6 mają tę samą wartość.

Rozszerzamy ułamek, mnożąc licznik i mianownik przez tę samą niezerową liczbę. Skracamy go, dzieląc licznik i mianownik przez ten sam wspólny dzielnik. Jeżeli wykonamy tę samą operację na obu częściach ułamka, jego wartość się nie zmieni.

Zasady

→a/b = (a · k)/(b · k) dla k ≠ 0
→przy skracaniu licznik i mianownik dzielimy przez tę samą liczbę
→ułamek jest nieskracalny, gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od 1

Przykład

Rozszerzanie

Polecenie: Rozszerz 3/4 do mianownika 12.

Przykład

Skracanie

Polecenie: Skróć 12/18.

3. Jak porównywać ułamki?

Jeżeli ułamki mają jednakowe mianowniki, porównujemy liczniki. Więcej części tej samej wielkości oznacza większą liczbę.

Jeżeli mianowniki są różne, wygodną metodą jest sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. Można wtedy porównać liczniki bez zgadywania na podstawie wyglądu liczb.

Zasady

→przy tym samym mianowniku większy licznik oznacza większy ułamek
→przy różnych mianownikach można użyć wspólnego mianownika

Przykład

Porównanie 5/6 i 4/5

Polecenie: Który ułamek jest większy: 5/6 czy 4/5?

4. Wspólny mianownik

Wspólny mianownik jest potrzebny między innymi przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków o różnych mianownikach. Szukamy liczby, która jest wspólną wielokrotnością obu mianowników.

Nie zawsze trzeba wybierać iloczyn mianowników. Często istnieje mniejsza wspólna wielokrotność, dzięki której obliczenia są prostsze.

Przykład

Wspólny mianownik dla 1/3 i 1/4

Polecenie: Sprowadź 1/3 i 1/4 do wspólnego mianownika.

5. Dodawanie i odejmowanie ułamków

Przy jednakowych mianownikach działamy na licznikach, a mianownik pozostaje bez zmian. Na przykład 2/7 + 3/7 = 5/7.

Przy różnych mianownikach najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika. Dopiero potem dodajemy albo odejmujemy liczniki. Na końcu sprawdzamy, czy wynik można skrócić.

Zasady

→nie dodajemy ani nie odejmujemy mianowników
→najpierw wspólny mianownik, potem działanie na licznikach
→na końcu warto skrócić wynik

Przykład

Dodawanie różnych mianowników

Polecenie: Oblicz 1/3 + 1/4.

Przykład

Odejmowanie różnych mianowników

Polecenie: Oblicz 5/6 − 1/4.

6. Ułamki niewłaściwe i liczby mieszane

Ułamek niewłaściwy ma licznik większy od mianownika albo mu równy. Taki ułamek przedstawia co najmniej jedną całość.

Aby zamienić ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną, dzielimy licznik przez mianownik. Iloraz jest częścią całkowitą, a reszta staje się licznikiem części ułamkowej.

W drugą stronę mnożymy część całkowitą przez mianownik, dodajemy licznik i otrzymany wynik zapisujemy nad tym samym mianownikiem.

Przykład

11/4 jako liczba mieszana

Polecenie: Zamień 11/4 na liczbę mieszaną.

Przykład

3 i 2/5 jako ułamek niewłaściwy

Polecenie: Zamień 3 i 2/5 na ułamek niewłaściwy.

7. Mnożenie ułamków zwykłych

Przy mnożeniu ułamków nie trzeba sprowadzać ich do wspólnego mianownika. Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik, a wynik skracamy, jeżeli jest to możliwe.

Warto skracać jeszcze przed wykonaniem mnożenia. Jeżeli licznik jednego ułamka i mianownik drugiego mają wspólny dzielnik, można podzielić je przez tę samą liczbę. Dzięki temu rachunki są krótsze i powstają mniejsze liczby.

Liczbę naturalną można zapisać jako ułamek z mianownikiem 1. Liczbę mieszaną przed mnożeniem wygodnie zamienić na ułamek niewłaściwy.

Zasady

→a/b · c/d = (a · c)/(b · d)
→przed mnożeniem można skracać licznik z mianownikiem
→liczbę mieszaną najpierw zamień na ułamek niewłaściwy
→na końcu skróć wynik i w razie potrzeby zapisz go jako liczbę mieszaną

Przykład

Mnożenie dwóch ułamków

Polecenie: Oblicz 2/3 · 3/5.

Przykład

Mnożenie liczby mieszanej

Polecenie: Oblicz 1 i 1/2 · 2/3.

8. Dzielenie ułamków zwykłych

Dzielenie przez ułamek zamieniamy na mnożenie przez jego odwrotność. Odwrotność ułamka 2/5 to 5/2, ponieważ zamieniamy miejscami licznik i mianownik.

Nie wolno odwracać pierwszego ułamka. Zmieniamy znak dzielenia na mnożenie i odwracamy tylko dzielnik. Potem liczymy jak zwykłe mnożenie ułamków.

Nie dzielimy przez zero. Ułamek będący dzielnikiem musi więc mieć licznik różny od zera.

Zasady

→a/b : c/d = a/b · d/c, gdy c ≠ 0
→odwracamy wyłącznie drugi ułamek — dzielnik
→liczby mieszane przed dzieleniem zamieniamy na ułamki niewłaściwe

Przykład

Dzielenie dwóch ułamków

Polecenie: Oblicz 3/4 : 2/5.

Przykład

Dzielenie liczby mieszanej

Polecenie: Oblicz 1 i 1/2 : 3/4.

9. Ułamki na osi liczbowej i prosty zapis dziesiętny

Aby zaznaczyć ułamek na osi, dzielimy odcinek między kolejnymi liczbami całkowitymi na tyle równych części, ile wskazuje mianownik. Licznik mówi, ile takich części odmierzamy od zera lub od wskazanego punktu.

Niektóre ułamki zwykłe łatwo zapisać dziesiętnie. Na przykład 7/10 = 0,7, 25/100 = 0,25, a 3/4 = 75/100 = 0,75. Do porównania można użyć wspólnego mianownika albo — w prostych przypadkach — równoważnego zapisu dziesiętnego.

Zapis dziesiętny nie zmienia wartości liczby. 0,5, 5/10 i 1/2 oznaczają tę samą liczbę i ten sam punkt na osi.

Zasady

→mianownik mówi, na ile równych części dzielimy jednostkę na osi
→7/10 = 0,7 i 35/100 = 0,35
→1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 3/4 = 0,75
→porównuj wartości, a nie sam wygląd licznika i mianownika

Przykład

Położenie 3/4 na osi

Polecenie: Gdzie leży 3/4 między 0 i 1?

Przykład

Porównanie zapisu zwykłego i dziesiętnego

Polecenie: Porównaj 2/3 i 0,6.

10. Ułamek danej liczby i odtwarzanie całej wartości

Aby obliczyć ułamek danej liczby, mnożymy tę liczbę przez ułamek. Na przykład 3/5 z 40 to 40 · 3/5 = 24. Można najpierw podzielić 40 przez 5, a potem pomnożyć wynik przez 3.

Czasem znamy część i musimy znaleźć całość. Jeżeli 3/4 pewnej liczby to 18, najpierw ustalamy wartość 1/4: 18 : 3 = 6. Całość, czyli 4/4, wynosi 6 · 4 = 24.

W zadaniach tekstowych warto nazwać całość i sprawdzić, czy wynik ma sens. Ułamek właściwy liczby dodatniej powinien być od tej liczby mniejszy.